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建南星空

太康县城关镇建南小学:上下求索 内外兼修

 
 
 

日志

 
 

两位数乘法速算一般性算理探究  

2013-01-12 16:20:02|  分类: 数学世界 |  标签: |举报 |字号 订阅

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两位数乘法速算一般性算理探究

河南省太康县城关镇建南小学(461400)师亚军

笔者注:近期,我校开展小学生计算能力大赛,重观“首同尾合十”、“尾同首合十”、“十几乘十几”和“几十一乘几十一”等速算方法,细探算理,发现它们竟然可以统一在一个口诀之下,“欣欣然,张开了眼”,心中豁然开朗,喜作此文。

再注:笔者曾在2011年第5期的《中小学数学》(小学版)上撰文《小学数学应用题的“通解”》,文中涉及到“统一思想”和“统一理论”,希望此次“统一”和“推广”能让全国的小学师生“喜用”速算方法。

 

计算分属数学“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)中的“基本技能”, 提高计算能力是解决问题的必要准备,也是小学数学教学着力训练的科目。

2011年版的《数学课程标准》在“知识技能”上对“数的运算”提出的目标是:体会四则运算的意义,掌握必要的运算技能,能准确进行运算;在具体情境中,能选择适当的单位进行简单的估算……探索并了解运算律,会应用运算律进行一些简便运算;经历与他人交流各自算法的过程,并能表达自己的想法……

太康县城关镇建南小学计算能力大赛要求:准确、快速地计算;选择恰当的算法,自觉简算。

两位数乘两位数,无论是在社会生活中,还是在数学解题中,运用都极其广泛,探究其速算方法和规律是小学数学教师开展教研活动的重要内容。

一、    一般算理

设两位数(10a+b)(10c+d),其中abcd都是1-9的数字,那么

(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd

由此可见,两位数乘两位数的速算方法是:十位数字相乘占百位,个位数字相乘占个位,十位数字与个位数字交叉相乘占十位。特别注意“错位相加”,即满几十,要向前一位进几。

用一句口诀可以概括为:头乘头,尾乘尾,交叉相乘作十位。

下面以若干例题为样,谈谈这个“两位数乘两位数速算口诀”的具体应用。

1.32×46=

速算方法

对位原则(错位相加)

千位

百位

十位

个位

3×4=12

1

2

 

 

3×6+2×4=26

 

2

6

 

2×6=12

 

 

1

2

32×46=1472

1

4

7

2

2. 24×57=

速算方法

对位原则(错位相加)

千位

百位

十位

个位

2×5=10

1

0

 

 

2×7+4×5=34

 

3

4

 

4×7=28

 

 

2

8

24×57=1368

1

3

6

8

3. 42×34=

速算方法

对位原则(错位相加)

千位

百位

十位

个位

4×3=12

1

2

 

 

4×4+2×3=22

 

2

2

 

2×4=8

 

 

0

8

42×34=

1

4

2

8

二、     特例简化

“头乘头,尾乘尾,交叉相乘作十位”这个口诀适用所有的两位数乘两位数,但对一些特例可以进一步简化,使它更加简便易用。

1、头同或尾同

(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd如果a=c,b=d时,那么

(10a+b)(10a+d)=100aa+10a(d+b)+bd

(10a+b)(10c+b)=100ac+10b(a+c)+bb

即“交叉相乘作十位”时,可以简化为:不同相加乘相同

4. 34×35=

速算方法

对位原则(错位相加)

千位

百位

十位

个位

3×3=9

 

9

 

 

4+5)×3=27

 

2

7

 

4×5=20

 

 

2

0

34×35=1190

1

1

9

0

5. 24×54=

速算方法

对位原则(错位相加)

千位

百位

十位

个位

2×5=10

1

0

 

 

2+5)×4=28

 

2

8

 

4×4=16

 

 

1

6

24×54=1296

1

2

9

6

2、十几乘十几或几十一乘几十一

(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd如果a=c=1,b=d=1时,那么

(10+b)(10+d)=100+10(d+b)+bd=1010+b+d+bd

(10a+1)(10c+1)=100ac+10(a+c)+1

即“交叉相乘作十位”时,可以简化为:不同相加作十位

6. 12×16=

速算方法

对位原则(错位相加)

千位

百位

十位

个位

1×1=

 

1

 

 

2+6=8

 

 

8

 

2×6=12=

 

 

1

2

12×16=192

 

1

9

2

十几乘十几也可以这样简算:一数加另一数的个位数字占十位,尾乘尾占个位。

速算方法

对位原则(错位相加)

千位

百位

十位

个位

12+6=18

16+2=18

 

1

8

 

2×6=12

 

 

1

2

12×16=192

 

1

9

2

7. 31×51=

速算方法

对位原则(错位相加)

千位

百位

十位

个位

3×5=15

1

5

 

 

3+5=8

 

 

8

 

1×1=1

 

 

 

1

31×51=1581

1

5

8

1

3、尾同首合十

(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd如果a+c=10,b=d时,那么

(10a+b)(10c+b)=100ac+10ba+c+bb

              =100ac+100b+bb

              =100ac+b+bb

即,“交叉相乘作十位”与“头乘头”合并为:“头头相乘加相同”占百位,

8.47×67=

速算方法

对位原则(错位相加)

千位

百位

十位

个位

4×6+7=31

3

1

 

 

7×7=49

 

 

4

9

47×67=3149

3

1

4

9

4、首同尾合十

(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd如果a=c,b+d=10时,那么

(10a+b)(10a+d)=100aa+10a(d+b)+bd

=100aa+100a+bd

=100aa+a+bd

=100aa+1+bd

即“头头相乘加相同”占百位简化为“头乘(头+1”占百位。

9. 32×38=

速算方法

对位原则(错位相加)

千位

百位

十位

个位

3×3+3=12

1

2

 

 

2×8=16

 

 

1

6

32×38=1216

1

2

1

6

此题可以简化为:

速算方法

对位原则(错位相加)

千位

百位

十位

个位

3×(3+1=12

1

2

 

 

2×8=16

 

 

1

6

32×38=1216

1

2

1

6

5、一数互补,一数数字相同

(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd如果a=b,c+d=10时,那么

10a+a)(10c+d=100ac+10ac+d+ad

=100ac+100a+ad

=100ac+a+ad

=100ac+1+ad

    这与“首同尾合十”类似。

10. 44×28=

速算方法

对位原则(错位相加)

千位

百位

十位

个位

4×(2+1=12

1

2

 

 

4×8=32

 

 

3

2

44×28=1232

1

2

3

2

 

练习:用速算法计算下面各题。

      36×32=      42×46=        54×23=

26×27=      43×45=        56×54=

18×16=      21×61=        34×74=

33×46=      45×45=        46×34=

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