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建南星空

太康县城关镇建南小学:上下求索 内外兼修

 
 
 

日志

 
 

用假设思想解决极值问题  

2013-09-17 16:39:10|  分类: 数学世界 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自数学世界《用假设思想解决极值问题》

解题研究

用假设思想解决极值问题

河南省太康县城关镇建南小学(461400) 师亚军

《中小学数学》(小学版)2009年第9期刊发了《一道“奥数题”的解法及功能》,在之后的2010年第9期又以《数形结合更有效》为题,再次对这道“奥数题”进行了探究和挖掘。笔者也曾撰文《解题的关键是揭示并解释规律》,进行专题研究。

原题是:某班有60人,42人会游泳,46人会骑车,50人会溜冰,55人会打乒乓球。可以肯定至少有多少人四项都会?(这里称为“题1”)

用“构造法”解题:先求出前两项都会的至少人数:42+46-60=28(人),再求出后两项都会的至少人数:50+55-60=45(人),最后求出四项都会的至少人数:28+45-60=13(人)。这与中国古代的“剩余定理”的“构造思想”,是多么的相像呀!

从另外一个角度思考,它也暗合了“抽屉原理”。 用“抽屉原理”解题:把60人当作60个抽屉,四项共有42+46+50+55=193(人),把他们当作193个苹果。每个抽屉最多放4个苹果,问:放4个苹果的抽屉至少有多少个呢?

为使放4个苹果的抽屉最少,按最不利的情况考虑,每个抽屉都放3个苹果。因为193÷60=3……13,所以可知:至少还剩13个苹果。每个抽屉已经放了3个,只能再放1个苹果,这需要再放进13个抽屉里。这就是说,至少有13个抽屉里放了4个苹果。即四项都会的至少有:42+46+50+55-60×3=13()

后来,笔者遇到下题。再次思考,思路忽转。

原题是:在某学校,星期一有15个学生缺席,星期二有12个学生缺席,星期三有9个学生缺席。如果这三天中至少有一天缺席的学生有22人,那么这三天都缺席的学生最多有多少人?(这里称作“题2”)

何不把上述两题化归为“鸡兔同笼题”用假设思想来解呢?

对于“题2”,按一般情况讲,22人有的缺席1天,有的缺席2天,有的缺席3天,共分三类。为使缺席3天的达到最多,那么缺席2天的和缺席1天的就尽量少,最好没有缺席2天的。即22人只有缺席1天的和缺席3天的(如果可能,连缺席1天的也没有,那么缺席3天的就更多,实际上,这不可能。)

“题2”变化为:22人有的缺席1天,有的缺席3天,共缺席(15+12+9=36天。问缺席三天的有多少人。

用“鸡兔同笼题”的假设法来解:假设22人都缺席1天,共缺席1×22=22(天),比实际少36-22=14(天)。如果把缺席1天的换作缺席3天的,那么每置换一人就多3-1=2(天),因此缺席3天的有14÷2=7(人)

综合算式:(15+12+9-1×22)÷(3-1=7(人)

对于“题1”,同样化归。60人按一般情况讲,有的不会1项,有的会1项,有的会2项,有的会3项,有的会4项,共分5类。为使会4项的达到最少,那么不会1项的、会1项的、会2项的和会3项的就尽量多,最好是不会1项的、会1项的和会2项的都没有。即60人只有会3项的和会4项的。

“题1”变化为:60人有的会3项,有的会4项,共会(42+46+50+55=193项。问会4项的有多少人。

用“鸡兔同笼题”的假设法来解:假设60人都会3项,共会3×60=180项,比实际少193-180=13(项)。如果把会3项的换作会4项的,那么每置换一人就多4-3=1(项),因此会4项的有13÷1=13(人)

综合算式:(42+46+50+55-3×60)÷(4-3=13(人)

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