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建南星空

太康县城关镇建南小学:上下求索 内外兼修

 
 
 

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解题研究:小问题 大学问  

2016-01-18 11:49:26|  分类: 数学世界 |  标签: |举报 |字号 订阅

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作者简介:师亚军、男、汉族、1967年10月出生,中国教育学会数学教育研究发展中心会员、奥林匹克教练员,省学术技术带头人、市骨干教师,河南省教师教育专家、太康县城关镇建南小学业务校长,《学习指导》特约主编,曾在《中小学数学》、《小学数学教师》、《小学教学研究》、《小学生报》、《小学生学习报》等刊物发表数学类文章三百多篇。

联系地址:河南省太康县城关镇谢安路中段56号建南小学

电子邮箱2695265943@qq.com或jiannanxiaoxue@163.com

 

解题研究

小问题 大学问

河南省太康县城关镇建南小学(461400) 师亚军

一年级数学教研组的老师与我探讨这样一个问题:

12345678八个数字填入下面四个算式,使等式成立,每个数字只准使用一次。

(  )+(  )=9 ----

(  )-(  )=1 ----

(  )+(  )=7 ----

(  )-(  )=2 ----

经过几次试算,没有找到答案。细细琢磨,发现竟然是无解。这样一个简单的数学题,要确定无解和揭秘无解,以及再证无解,则需要“排列组合”“奇偶分析”和“包含排除”等知识和策略。这真是“小问题,大学问”呀!

一、排列组合,确定无解

式①有4种可能:1+8=92+7=93+6=94+5=9

式②有7种可能:2-1=13-2=14-3=15-4=16-5=17-6=18-7=1

式③有3种可能:1+6=72+5=73+4=7

式④有6种可能:3-1=24-2=25-3=26-4=27-5=28-6=2.

若式③选1+6=7,则式①只能选2+7=94+5=9两种情况。若式①选2+7=9,则剩余3458四个数字,而83、与4、与5都无法组成差是12的算式。若式①再选4+5=9,则剩余2378四个数字,而它们无法组成差是2的算式。由此断定,式③选1+6=7不可行。

若式③选2+5=7,则式①只能选1+8=93+6=9两种情况。若式①选3+6=9,则剩余1478四个数字,而14、与7、与8都无法组成差是12的算式。若式①再选1+8=9,则剩余3467四个数字,而它们无法同时组成差是1、差是2的两个算式。由此断定,式③选2+5=7也不可行。

若式③选3+4=7,则式①只能选1+8=92+7=9两种情况。若式①选2+7=9,则剩余1568四个数字,而15、与6、与8都无法组成差是12的算式。若式①再选1+8=9,则剩余2567四个数字,而25、与6、与7都无法组成差是12的算式。由此断定,式③选3+4=7也不可行。

因为式③既不能选1+6=7,也不能选2+5=7,又不能选3+4=7,故知此题无解。

二、奇偶分析,揭秘无解

由奇偶性可知:式①、式②和式③,每个算式只能一个奇数、一个偶数。即:要满足式①、式②和式③必须有3个奇数和3个偶数。

而式④,要么是两个奇数,要么是两个偶数。

因此,要同时满足式①、式②、式③和式④,则必须有5个奇数3个偶数或者3个奇数5个偶数。

12345678八个数字,只有4个奇数4个偶数,故知此题确定无解。

三、包含排除,再证无解

将式①、式②、式③和式④左右分别相加。

 )+( )+( )+( )+( )+( )-( )-( )=9+1+7+2

先包含,再排除。把两个减数包含在1-8中,再减去它们和的2倍。即1+2+3+4+5+6+7+82[(  )+(  )]=19

因为1+2+3+4+5+6+7+8=36,故知这两个减数和的2倍等于36-19=17.

1-8中,没有哪两个数和的2倍等于17.

因此,再证此题无解。

 

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